已知动点P与双曲线x^2-y^2=1的两个焦点F1,F2距离之和为定值,且cosF1PF2最小值为-1/3,求动点P轨迹方程

解：两个焦点F1,F2的坐标为（-√2，0）、（√2，0），F1F2=2√2,设PF1+PF2=2a，则
cos∠F1PF2=（PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/(2PF1PF2)=[(PF1+PF2)^2-2PF1PF2-8)/(2PF1PF2)
=(4a^2-8)/(2PF1PF2)-1≥(4a^2-8)/[(PF1+PF2)^2/2]-1=(2a^2-4)/a^2-1,即
(2a^2-4)/a^2-1=1/3
a=√6,所以P轨迹方程为椭圆，a=√6，c=√2，b=2
P轨迹方程为：x^2/6+y^2/4=1

(1)
双曲线的焦点：c²=a²+b²=3+2=5，焦点在x轴
根据椭圆定义可知，P点轨迹方程为一椭圆，高长之和=2a,b²=a²－c²
则此方程为x²/a²+y²/b²=1

设P点到两焦点的长度分别为m,n,两线夹角为P,则m+n=2a
根据余弦定理：
(2c)²=m²+n²-2mn*cos(p)
(2c)²=(m+n)²-2mn(1+cos(p))
2mn(1+cos(p)=4c²-4a²=4b²
cos(p)=4b²/(2mn)-1

mn越大，则 cos(p)越小，当mn取得最大值时，cos(p)取得最小。

mn=m(2a-m)=2am-m²=-(m-a)²+a²
根据此式，当m=a时，mn取得最大值a²

所以，-1/9=4b²/(2a²)-1
b²=a²-5

根据这两个关系式，解出：a²=9,b²=4
所以
点P的轨迹方程为：x²/9+y²/4=1